Учебные цели: формирование представления о графе и его основных характеристиках.

Тип: Лекция
Автор: Екатерина Калинина
Трудомкость: 2 ч.
Тема: Основы сетевого анализа

Основу теории графов заложила так называемая «Задача о кёнигсбергских мостах», на сегодняшний день ставшая классической. Суть задачи состоит в следующем:

Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Преголя. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены. Кенигсбергцы предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причём на каждом мосту следовало побывать только один раз.

Издавна гостей Кёнигсберга интересовал вопрос: можно ли пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды? В 1736 году выдающийся математик Леонард Эйлер заинтересовался этой задачей, после чего привел строгое доказательство того, что сделать это невозможно. Результаты исследования Эйлера заложили основу теории графов и отлично иллюстрируют направление её развития в настоящее время.

Граф в теории графов – это, в общем случае, математический объект (или геометрическая схема), который представляет собой совокупность вершин, соединенных рёбрами.

Вершины, в зависимости от контекста задачи, могут изображать точки назначения (города, острова, местоположения людей и т.п.), узлы связи (в компьютерных сетях), конкретных людей или адресатов и т.д. Значения рёбер также зависит от условий задачи – они могут обозначать как пути между вершинами, так и связи разного рода (социальные, экономические, физические и т.п.). Поэтому сейчас все чаще выделяют особые виды графов в рамках конкретных областей применения: социальные, молекулярные, веб‑графы и др.

Основные понятия теории графов:

1. Говорят, что ребро инцидентно вершине, если эта вершина является концом данного ребра.
2. Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину. Две вершины, инцидентные одному ребру, также называют смежными.
3. Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.
4. Ребро называется петлёй, если его концы совпадают.
5. Степень вершины – это количество рёбер, концом которых она является. Если вершине не инцидентно ни одно ребро, такую вершину называют изолированной.
6. Путь в графе – это любая последовательность вершин, в которой каждые две соседние вершины соединены ребром.
7. Цикл в графе – это путь, у которого начальная и конечная вершина совпадают.

Основные виды графов:

1. Ориентированный граф – граф, в котором каждое ребро имеет направление, обозначаемое стрелкой.
2. Неориентированный граф – граф, в котором рёбра не имеют направлений.
3. Смешанный граф – граф, в котором присутствуют как ориентированные, так и не ориентированные рёбра.
4. Мультиграф – граф, содержащий кратные рёбра.
5. Псевдограф – граф, содержащий кратные рёбра и петли.
6. Простой граф – граф, в котором не содержатся кратные рёбра и петли.
7. Полный граф – простой неориентированный граф, в котором две любые вершины смежны.
8. Плоский граф – граф, который может быть изображён на плоскости без пересечения рёбер.
9. Дерево – это граф, не содержащий циклов.

Синонимичным к понятию «граф» является понятие «сеть». Однако сетями чаще всего называют такие графы, вершины которых определенным образом помечены, т.е. несут смысловую нагрузку. Таким образом, графом чаще называют строгий математический объект, к которому применимы все законы теории графов, о сетях чаще говорят в контексте прикладных (социологических, биологических, химических и т.д.) исследований.

Базовые понятия сетей:

• узлы (в графах: вершины);
• связи (в графах: рёбра).

Теория сетей и сетевой анализ находят свое применение в различных областях науки, техники, а также повседневной деятельности людей:

• транспортные системы и сети перевозок;
• инженерные сети;
• биологические сети;
• нейросети (и искусственный интеллект);
• социальные сети;
• нарративные (повествовательные) сети;
• компьютерные сети и др.

Литература

Тематические проекты, онлайн-курсы и программное обеспечение

Библиографическая ссылка: Калинина Е. Сети и теория графов // Изучаем Digital Humanities [Электронный ресурс]. 2018. URL: https://dhumanities.ru/?p=1850